informatika-2022-23: 7. astea | Taylor azpiprogramaz (angelu txikiekin)

Brook Taylor

Brook Taylor britainiar matematikaria 1685ean jaio eta 1731ean hil zen. Zientziaren arazo asko aztertu zituen eta 1715. urtean idatzi zuen Methodus incrementorum directa et inversa, bere lan garrantzitsuena, non kalkulu diferentziala eta funtzio deribatua definitu zituen. Liburu berean agertu ziren Taylorren seriea, diferentzia finituen bidezko kalkulua, ekuazio diferentzialen soluzio bereziak, zatikako integrazio-metodoa, etab.

Taylor serie bidezko hurbilpena

Taylor seriea funtzio batek x puntuaren inguruan hartzen duen
baliora hurbiltzeko erabil daiteke, seriearen batugai zenbait bakarrik
erabiltzen direnean; era honetan, errore bat sortzen da, funtzioaren
balioarekin bat datorren seriea ez baita modu osotuan garatzen:

$f(x)=f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f^{(2)}(a)}{2!}}(x-a)^{2}+\cdots +{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}+R_{n}(x),$

(a=0 balioa denean, serieari MacLaurin serie deritzo)

Funtzio esponentzialaren eta logaritmikoaren serieak

$e^{x}=1+x+{x^{2} \over 2!}+{x^{3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}.$

$\ln(x)=2\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2n+1}}\left({\frac {x-1}{x+1}}\right)^{2n+1}$

Funtzio trigonometrikoen serieak

$\sin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}\quad ,\forall x$

$\cos x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}\quad ,\forall x$

$\tan x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}(-4)^{n}(1-4^{n})}{(2n)!}}x^{2n-1}\quad ,{\mbox{ non }}\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}$

Non B_s Bernouilliren zenbakiak diren.

Ariketa hau egiteko, ikusitako hauek gogoratu Azp-1 (zero bertsioa), Azp-2 (zero bertsioa) eta Azp-3 (zero bertsioa). Klikatu irudi honen gainean eta grafikoki ikusiko duzu Taylor polinomioa kosinu funtzioarentzat:

Lehen bertsioa

Angelu baten kosinua Taylor-ren arabera honela kalkula daiteke:

Non x radianetan emaniko angelua den.

Programa bat idatzi kosinua kalkulatuko duena aurreko segidaren N batugai erabiliz. Batugaien N kopurua ez da ezaguna, batugaiak aintzat hartuko dira azken batugaiaren balio absolutua 0.00001 baino txikiagoa izan arte adibidez (doikuntza hori teklatuaren bitartez emango du programaren erabiltzaileak).

Kasu honetan batukaria kalkulatzen duen azpiprogramak emaitza bakarra itzuli behar duelako funtzio baten bitartez programatuko dugu. Diogunez, azpiprograma hori funtzio bat izango da bere goiburukoa hauxe delarik:

function fnrKosinuaKalkulatu(rX, rDoikuntza: real): real ;

Sarrera: rX radianak (teklatuz irakurritako rAngelua graduak radianetara igarota)

Sarrera: rDoikuntza (gogoratu bertsio honetan doikuntza programa nagusian irakurtzen dela)

Programaren...
TaylorFuntzioz1.pas
...lehen hurbilketa honek x sarrerako angelua 0 eta Π/2 artekoa izan dadila. Gero, programa ongi dabilenean kodifikazioa aberastu edozein koadranteko angelurako, hau da sarrerako x angelua 0 eta 2Π artekoa izan daitekeela. Amaitzeko, programa osatu edozein angelurako, hots, sarrerako x angelua 2Π baino handiagoa denean ere, laguntza hemen.

Bigarren bertsioa

Demagun orain bigarren bertsio honetan bi aldaketa egingo ditugula. Batetik doikuntza konstante batekin lan egingo dugula, eta bestetik programa nagusiak beste emaitza bat agertu behar duela ere (iterazioen kopurua). Beraz, kosinua kalkulatzeko metodo bera erabiliko dugu baina azpiprogramak itzuli beharko dituen emaitzak bi izango dira:

kosinuaren balioa eta horrez gain

zenbat iteraziotan lortu den kalkulatzea

Gogoratu angelu baten kosinua Taylor-ren arabera honela kalkula daiteke:

Non x radianetan emaniko angelua den.

Programa bat idatzi kosinua kalkulatuko duena aurreko segidaren N batugai erabiliz. Batugaien N kopurua ez da ezaguna, batugaiak aintzat hartuko dira azken batugaiaren balio absolutu konstantea 0.00001 baino txikiagoa izan arte.

Kkasu honetan batukaria kalkulatzen duen azpiprogramak bi emaitza itzuli behar dituelako ezingo da funtzio baten bitartez programatuko. Azpiprograma hori prozedura bat izango da eta bere goiburukoa honelakoxea izango da:

procedure KosinuaKalkulatu(rX: real; var iKont: integer; var rEmaitza: real) ;

Sarrera: rX angelua radianetan (gogoratu bertsio honetan doikuntza konstante bat dela)

Irteera: iKont iterazioen kopurua

Irteera: rEmaitza kosinuaren kalkulua

Programaren...
TaylorProzeduraFuntzioak.pas
...bigarren bertsio honek x sarrerako angelua 0 eta Π/2 artekoa izan dadila. Gero, programa ongi dabilenean kodifikazioa aberastu edozein koadranteko angelurako, hau da sarrerako x angelua 0 eta 2Π artekoa izan daitekeela. Amaitzeko, programa osatu edozein angelurako, hots, sarrerako x angelua 2Π baino handiagoa denean ere, laguntza hemen.

Doikuntza konstante bat izanik:

{ Faktorialaren emaitza longint datu-motakoa da }
program KosinuaTaylorBitartez_LehenKoadrantea;
uses
   crt;
const
   rDOITASUNA = 0.0009;     (* kalkuluaren prezisioa, bederatzi hamarmilaren *)
    
function fnliFaktoriala(iZbk:integer): longint;
var
   j: integer;
   liMetatua: longint;
begin
   liMetatua := 1;
   for j:=1 to iZbk do
   begin
      liMetatua := liMetatua*j;
      //writeln('j=', j, ' ---faktoriala-> ', liMetatua);   (* agindu hau indarrean jarri programa ulertzeko *)
   end;
   fnliFaktoriala := liMetatua;
end;
 
 
function fnrBerreketa(rX:real; iZbk:integer): real;
var
   k: integer;
   rMetatua: real;
begin
   rMetatua := 1;
   for k:=1 to iZbk do
   begin
      rMetatua := rMetatua*rX;
      //writeln('k=', k, ' ===berredura==> ', rMetatua:0:5);   (* agindu hau indarrean jarri programa ulertzeko *)
   end;
   fnrBerreketa := rMetatua;
end;
 
 
function fnrKosinuaKalkulatu(rX: real): real;
var
   rKosinua, rBerrek, rBatugaia: real;
   iZeinua, iKont: integer;
   liFakt: longint;
begin
   rKosinua := 1.0;  (* lehen iterazioa kanpoan *)
   iZeinua := -1;
   iKont := 2;
   //writeln('Hasi-hasieran...                rKosinua = ':18, rKosinua:0:10);   (* agindu hau indarrean jarri programa ulertzeko *)
   //writeln;                                                                    (* agindu hau indarrean jarri programa ulertzeko *)
     
   repeat
       liFakt := fnliFaktoriala(iKont);
       rBerrek := fnrBerreketa(rX, iKont);
 
       rBatugaia := iZeinua*rBerrek/liFakt;
       rKosinua := rKosinua + rBatugaia;
 
       //writeln('rBatugaia = ', rBatugaia:13:10, 'rKosinua = ':22, rKosinua:0:10);   (* agindu hau indarrean jarri programa ulertzeko *)
       //writeln('DOITASUNA = ', rDOITASUNA:13:10);                                   (* agindu hau indarrean jarri programa ulertzeko *)
       //writeln;                                                                     (* agindu hau indarrean jarri programa ulertzeko *)
        
       iZeinua := iZeinua*(-1);
       iKont := iKont + 2;
   until abs(rBatugaia) < rDOITASUNA;
 
   fnrKosinuaKalkulatu := rKosinua;
end;
 
  
(* -------------------------PROGRAMA NAGUSIA--------------------------- *)
var
   rGraduak: real;    (* angelua graduetan *)
   rX: real;          (* angelua radianetan *)
   rKos: real;
begin
   clrscr; 
   repeat
      write('Lehenengo koadranteko angelu bat eman gradutan: ');
      readln(rGraduak);
      if (rGraduak < 0.0) or (rGraduak >= 90.0) then
         writeln('Angelua 0.0 eta 89.999 artekoa izan dadila');
   until (rGraduak >= 0.0) and (rGraduak < 90.0);
 
   rX := rGraduak*2*PI/360;
    
   writeln(rGraduak:0:3, ' gradu = ', rX:0:5, ' radian');
   writeln;
 
   rKos := fnrKosinuaKalkulatu(rX);
 
   writeln('kos(', rX:0:3, ') = ', rKos:0:10);
   writeln('cos(', rX:0:3, ') = ', cos(rX):0:10);
   writeln;
   writeln('==============================');
   writeln('Edozein tekla sakatu amaitzeko');
   writeln('==============================');
    
   repeat until keypressed;
end. 